Pensieve Header: Polynomiality experiments.

βSimplify=Simplify;
SetAttributes[βCollect, Listable];
βCollect[B[ω_, μ_]] := B[
βSimplify[ω],
Collect[μ, _h, Collect[#, _t, βSimplify]&]
];
(* "L" for "Labels" *)
hL[β_] := Union[Cases[β, h[s_] :> s, Infinity]];
tL[β_] := Union[Cases[β, t[s_]|(Subscript[T, s_]) :> s, Infinity]];
dL[β_] := Union[hL[β], tL[β]];
βForm[B[ω_, μ_]] := Module[
{tails, heads, mat},
tails = tL[B[ω, μ]]; heads = hL[B[ω, μ]];
mat = Outer[βSimplify[Coefficient[μ, h[#1] t[#2]]]&, heads, tails];
PrependTo[mat, t /@ tails];
mat = Prepend[Transpose[mat], Prepend[h /@ heads, ω]];
MatrixForm[mat]
];
βForm[else_] := else /. β_B :> βForm[β];
tm[x_, y_, z_][β_] := β /. {t[x]->t[z], t[y]->t[z], (Subscript[T, x])->(Subscript[T, z]), (Subscript[T, y])->(Subscript[T, z])};
hm[x_, y_, z_][B[ω_, μ_]] := Module[
{γx= D[μ, h[x]], γy=D[μ, h[y]], M=μ /. h[x]|h[y] -> 0},
B[ω, M+h[z](γx+γy+(γx /. t[i_] :> 1)γy)] // βCollect
];
thswap[y_,x_][B[ω_, μ_]] := Module[
{α, β, γ, δ, ϵ},
α = Coefficient[μ, h[x]t[y]];
β = D[μ, t[y]] /. h[x] -> 0;
γ = D[μ, h[x]] /. t[y] -> 0;
δ = μ /. h[x]|t[y] -> 0;
ϵ = 1+α;
B[ω*ϵ, Plus[
α(1+(γ /. t[i_] :> 1)/ϵ)h[x]t[y],
β(1+(γ /. t[i_] :> 1)/ϵ)t[y],
γ/ϵ h[x],
δ-1/ϵ γ*β
]] // βCollect
];
dm[x_,y_,z_][β_] := β // thswap[x,y] // hm[x,y,z] // tm[x,y,z];
B /: B[ω1_, μ1_]B[ω2_, μ2_] := B[ω1*ω2, μ1+μ2];
Rp[x_, y_] := B[1, (T-1)*t[x]h[y]];
Rm[x_, y_] := B[1, (1/T-1)*t[x]h[y]];
Unprotect[NonCommutativeMultiply];
β_ ** ν_ := Module[
{ρ, σ, labels},
ρ = β*(ν /. {h[s_] :> h[σ[s]], t[s_] :> t[σ[s]], (Subscript[T, s_]) :> (Subscript[T, σ[s]])});
labels = Union[Cases[{β,ν}, h[s_]|t[s_]|(Subscript[T, s_]) :> s, Infinity]];
Do[
ρ = ρ // dm[s, σ[s], s],
{s, labels}
];
ρ
];
Format[β_B, StandardForm] := βForm[β];

Rp[1,2]

Rp[1,2]**Rm[2,1]

Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3]

Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1]

(Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]

(Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]**Rp[3,1]

(Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]**Rp[3,1]**Rp[1,2]

(Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]**Rp[3,1]**Rp[1,2] // dm[3,1,1]

Rm[2,1]**((Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]**Rp[3,1]**Rp[1,2] // dm[3,1,1])

Rm[2,1]**Rm[2,1]**((Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]**Rp[3,1]**Rp[1,2] // dm[3,1,1])

Rm[1,3]**Rm[2,1]**Rm[2,1]**((Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]**Rp[3,1]**Rp[1,2] // dm[3,1,1])

Rm[1,3]**Rm[2,1]**Rm[2,1]**((Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]**Rp[3,1]**Rp[1,2] // dm[3,1,1]) // dm[2,3,1]

Rm[1,3]**Rm[2,1]**Rm[2,1]**((Rp[1,2]**Rm[2,1]**Rp[2,3] // dm[1,2,1])**Rm[2,3]**Rp[3,1]**Rp[1,2] // dm[3,1,1])

Knot[8, 17] calculation:

Rm[12,1]

Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1]

(Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1]

((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1]

(((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1]

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1]

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1]

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11]

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11]

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1]

(((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9]

(((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]//dm[1,10,1]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]//dm[1,10,1] // dm[11,15,11]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]//dm[1,10,1] // dm[11,15,11] // dm[11,16,11]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]//dm[1,10,1] // dm[11,15,11] // dm[11,16,11] // dm[1,11,1]